막히면 힌트를 먼저 열어 보세요. 그래도 안 되면 답과 풀이를 봐도 됩니다. 오늘 다 못 풀어도 괜찮습니다.
🔬 오늘의 과학 10제 — 과고를 보려면 수학만으로는 모자랍니다. 대구과고 최상위 과학 50제를 하루 10제씩 닷새로 나눠 풉니다. 월요일은 1~10번, 화요일은 11~20번 … 이렇게 이어 가면 됩니다. 🔬 오늘의 과학 10제 열기 →
⚠️ 이 과학 문제지는 제출해야 해설이 열립니다. 먼저 풀고 제출하세요.
1HJ01
세 각의 크기가 모두 자연수(단위 )인 이등변삼각형 가운데, 어떤 한 각의 크기가 다른 한 각의 크기의 4배인 것이 있습니다. (1) 이런 삼각형의 세 각의 크기를 모두 구하시오. (2) (1)에서 찾은 것 가운데 가장 큰 각과 가장 작은 각의 차가 가장 큰 경우의 그 차를 구하시오.
이등변삼각형은 (a, a, b) 입니다. 4배가 될 수 있는 자리를 빠짐없이 세어 보세요.
답 (1) 30°, 30°, 120° 와 20°, 80°, 80° (2) 90°
이등변삼각형의 두 밑각은 같으므로 세 각을 (a, a, b) 로 둡니다. 2a + b = 180.
「4배」가 되는 자리는 두 가지뿐입니다 — b = 4a 이거나 a = 4b. (a = 4a 는 될 수 없습니다)
b = 4a 이면 2a + 4a = 180 이므로 a = 30 ⇒ 30°, 30°, 120°
a = 4b 이면 8b + b = 180 이므로 b = 20 ⇒ 20°, 80°, 80°
차를 각각 재면 120 − 30 = 90, 80 − 20 = 60 이므로 큰 쪽은 90°.
⚠️ 「4배인 각이 밑각인가 꼭지각인가」를 나누지 않으면 하나를 놓칩니다.
2HJ02
삼각형 ABC 의 외심을 O 라 합니다. (1) 점 O 가 변 위에 있으면 임을 설명하시오. (2) 점 O 가 삼각형 ABC 의 바깥에 있으려면 가 반드시 어떤 범위에 있어야 하는지 구하시오. (3) , 이고 점 O 가 변 위에 있을 때 자연수 x 의 값을 구하시오.
외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 것에서 이등변삼각형 둘이 생깁니다.
답 (1) 설명 참조 (2) 90° < ∠A < 180° (3) x = 18
외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있으므로 입니다.
그래서 와 는 이등변삼각형입니다. 밑각을 각각 , 라 두면 , .
O 가 위에 있으면 입니다.
세 각의 합에서 이므로 .
따라서 입니다.
(2) O 가 변 위 = 직각, 안쪽 = 예각, 바깥 = 둔각이므로 .
(3) O 가 변 위 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x = 18.
⇨ 외심의 자리가 곧 ∠A 의 종류를 말해 줍니다. (3)은 그것을 거꾸로 쓴 것입니다.
3HJ03
삼각형에서 한 꼭짓점의 각의 이등분선이 그 대변을 이등분할 때, 이 삼각형을 「고른 삼각형」이라 정의한다. (1) 고른 삼각형은 반드시 이등변삼각형임을 설명하시오. (2) 세 변의 길이가 모두 자연수이고 둘레가 20 인 고른 삼각형을 모두 구하시오.
각의 이등분선을 그냥 보면 SSA 라 합동이 안 됩니다. 선을 늘여 보세요.
답 (1) 설명 참조 (2) (9, 9, 2), (8, 8, 4), (7, 7, 6), (6, 6, 8) — 네 가지
(1) 의 이등분선이 를 점 D 에서 이등분한다고 합시다 ().
⭐ 보조선 — 를 D 너머로 늘여 인 점 E 를 잡습니다.
와 는 두 변과 그 끼인각(맞꼭지각)이 같아 합동입니다.
그러므로 이고 입니다.
(이등분선)이므로 ⇒ 는 이등변 ⇒ .
따라서 — 이등변삼각형입니다.
(2) 다리를 , 밑변을 라 하면 이고 삼각형이 되려면 , 곧 .
는 짝수여야 가 자연수이므로 b = 2, 4, 6, 8 ⇒ (9, 9, 2), (8, 8, 4), (7, 7, 6), (6, 6, 8).
⚠️ 은 를 어겨 삼각형이 되지 않습니다.
4HJ04
삼각형 ABC 의 내심을 I 라 합니다. 의 크기가 자연수이고 보다 크지 않을 때, 가 될 수 있는 자연수 값을 모두 찾아 그 개수와 가장 큰 값을 차례로 쓰시오.
∠BIC 와 ∠A 사이의 식을 먼저 세우고, 자연수 조건이 무엇을 묶는지 보세요.
답 40개, 80°
내심에서 입니다.
에서 .
가 자연수이려면 가 자연수 ⇒ 는 짝수.
그러므로 A = 2, 4, 6, …, 80 — 모두 40개.
가장 큰 값은 80°.
⚠️ 「자연수」 조건을 흘리면 개수가 80개로 두 배가 됩니다.
5HJ05
삼각형의 세 각 가운데 어떤 두 각의 크기의 합이 나머지 한 각의 크기의 3배가 될 때, 이 삼각형을 「3배각 삼각형」이라 정의한다. (1) 3배각 삼각형의 세 각 가운데 하나는 반드시 임을 설명하시오. (2) 3배각 삼각형 가운데 이등변삼각형이 아닌 것이 있는지 판단하고 그 까닭을 설명하시오.
「두 각의 합」을 세 각의 합에서 빼면 한 글자만 남습니다.
답 (1) 설명 참조 (2) 있습니다 — 보기: 45°, 60°, 75°
(1) 나머지 한 각을 라 하면 두 각의 합은 입니다.
조건에서 ⇒ ⇒ .
곧 어떤 3배각 삼각형이든 45° 인 각을 반드시 가집니다.
(2) 45° 를 뺀 나머지 두 각의 합은 135° 이고, 그 둘은 무엇이든 될 수 있습니다.
예를 들어 45°, 60°, 75° 는 60 + 75 = 135 = 3 × 45 이므로 3배각 삼각형이고, 세 각이 모두 달라 이등변삼각형이 아닙니다.
⇨ 그래서 「3배각 ⇒ 이등변」은 거짓입니다. 반례 하나로 무너집니다.
6HJ06
세 변의 길이가 모두 자연수인 이등변삼각형 가운데 둘레가 24 이고 밑변이 다리보다 짧은 것을 모두 구하고, 밑변이 될 수 있는 가장 큰 값을 쓰시오.
둘레 식을 세우고, 「짧다」를 부등식으로 바꿔 보세요.
답 (11, 11, 2), (10, 10, 4), (9, 9, 6) — 세 가지 · 가장 큰 밑변 6
다리를 , 밑변을 라 하면 입니다.
「밑변이 다리보다 짧다」 ⇒ ⇒ ⇒ .
가 자연수이려면 는 짝수이므로 b = 2, 4, 6.
⇒ (11, 11, 2), (10, 10, 4), (9, 9, 6) 세 가지.
밑변이 될 수 있는 가장 큰 값은 6.
⚠️ b = 8 이면 a = 8 이 되어 「짧다」를 어깁니다.
7HJ07
삼각형 ABC 에서 의 이등분선과 의 이등분선이 만나는 점을 I, 의 이등분선과 의 외각의 이등분선이 만나는 점을 P 라 합니다. (1) 임을 설명하시오. (2) 가 의 3배일 때 의 크기를 구하시오.
두 점 I, P 의 각을 각각 ∠A 로 나타내 보세요. 하나는 더하고 하나는 뺍니다.
답 (1) 설명 참조 (2) 90°
내심에서 입니다.
한 내각과 한 외각의 이등분선이 만나는 점에서는 입니다.
두 식을 더하면 — ∠A 가 무엇이든 늘 그렇습니다.
(2) 에서 .
⇒ .
⚠️ 두 식의 부호(＋, −)를 뒤집으면 답이 통째로 달라집니다.
8HJ08
삼각형 ABC 의 외심을 O 라 하고 입니다. , , 를 모두 구하고, 그 가운데 가장 큰 것을 쓰시오.
비를 각으로 먼저 바꾸고, 각 중심각이 어느 각의 두 배인지 짝지어 보세요.
답 ∠BOC = 80°, ∠AOC = 120°, ∠AOB = 160° · 가장 큰 것은 ∠AOB = 160°
세 각의 합이 180° 이므로 한 몫은 입니다.
⇒ .
외심에서 중심각은 원주각의 두 배이므로 ,
.
세 각의 합이 이 되는지 검산합니다. ✅
가장 큰 것은 ∠AOB = 160°.
9HJ09
세 각의 크기가 모두 자연수인 이등변삼각형 가운데 둔각삼각형인 것을 생각합니다. 이때 둔각이 될 수 있는 각의 크기를 모두 찾아 그 개수와 가장 작은 값을 차례로 쓰시오.
이등변삼각형에서 둔각이 될 수 있는 자리가 밑각인지 꼭지각인지 먼저 가려 보세요.
답 44개, 92°
이등변삼각형의 세 각을 (a, a, b) 로 둡니다. .
밑각 a 는 이므로 — 밑각은 둔각이 될 수 없습니다.
그러므로 둔각은 반드시 꼭지각 b 입니다. .
이므로 b 는 짝수여야 a 가 자연수입니다.
b = 92, 94, …, 178 ⇒ 모두 44개, 가장 작은 값은 92°.
⚠️ 「밑각도 둔각이 될 수 있다」고 보면 개수가 두 배로 틀립니다.
10HJ10
인 에서 의 이등분선과 의 이등분선이 각각 대변과 만나는 점을 D, E 라 합니다. (1) 임을 설명하시오. (2) 이 성질이 이등변삼각형이 아닌 삼각형에서도 늘 성립하는지 판단하고 까닭을 설명하시오.
두 이등분선을 각각 품은 삼각형 둘을 찾아 겹쳐 보세요. 공통인 변이 하나 있습니다.
답 (1) 설명 참조 (2) 성립하지 않습니다 — 반례: 세 각이 모두 다른 삼각형
(1) 와 를 봅니다.
는 공통이고, 밑각이 같으므로 ,
각의 이등분선이므로 — 한 변과 그 양 끝 각이 같아 합동(ASA)입니다.
합동이므로 .
(2) 밑각이 같다는 것이 이등변이라서 나온 것이므로, 세 각이 모두 다르면 그 근거가 사라집니다.
예를 들어 세 각이 50°, 60°, 70° 인 삼각형에서는 두 이등분선의 길이가 서로 다릅니다.
⇨ 거꾸로는 성립하지 않습니다.
11HJ11
삼각형의 세 변에서 같은 거리에 있고 삼각형 안에 있는 점을 「고른 거리 점」이라 정의한다. (1) 고른 거리 점은 내심과 같은 점임을 설명하시오. (2) 한 삼각형에서 고른 거리 점이 둘 이상 있을 수 없음을 설명하시오.
「두 변에서 같은 거리」가 무엇을 뜻하는지부터 각의 이등분선으로 바꿔 보세요.
답 (1)·(2) 설명 참조 — 고른 거리 점 = 내심, 오직 하나
(1) 한 각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 있습니다.
세 변에서 모두 같은 거리라면 세 각의 이등분선 위에 동시에 있어야 합니다.
세 각의 이등분선이 만나는 점이 내심이므로 고른 거리 점 = 내심입니다.
(2) 만약 고른 거리 점이 두 개 P, Q 라면 둘 다 세 이등분선 위에 있어야 합니다.
그런데 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이므로 세 이등분선이 모두 같은 직선이 되어,
삼각형의 세 각이 한 직선 위에 있다는 모순이 생깁니다. ⇒ 오직 하나입니다.
⚠️ 「그림에 하나만 보인다」는 설명이 아닙니다. 둘이면 모순임을 보여야 합니다.
12HJ12
인 에서 밑변 의 중점을 M 이라 합니다. (1) 선분 이 동시에 가지는 성질을 모두 찾아 세 가지로 쓰시오. (2) 그 가운데 임을 설명하시오.