교과서 밖 사고력,
정수론·조합론으로.

\(A=12a,\ B=12b\)로 놓으면 \(a,b\)는 서로소이고 \(ab=360\div12=30\). \(ab=30\)이면서 서로소인 짝은 \((1,30),(2,15),(3,10),(5,6)\)뿐이다. 이 중 \(a+b\)가 가장 작은 짝은 \((5,6)\) — 합이 11로 최소.

소인수 2,3,5,7 각각에 대해 최대공약수는 지수의 최솟값, 최소공배수는 지수의 최댓값을 취한다.
최대공약수 = \(2^2\times3^1=12\)
최소공배수 = \(2^4\times3^3\times5^2\times7^1=75600\) (B에만 있는 \(7^1\)도 최소공배수엔 포함됨에 주의)
몫 = \(75600\div12\)

나머지가 있는 문제는 (원래 수 − 나머지)로 바꾸면 나누어떨어지는 문제가 된다. \(157-5=152,\ 223-7=216\). 구하는 수는 152와 216의 공약수 중 하나이며, 최대공약수는 \(\gcd(152,216)=8\).
단, 나누는 수는 반드시 나머지보다 커야 하므로(나머지 7이 나오려면 나누는 수가 7보다 커야 함) 8의 약수(1,2,4,8) 중 7보다 큰 것만 가능하다.

세 자리 수가 3의 배수이려면 세 자릿수의 합이 3의 배수여야 한다. 1~9를 3으로 나눈 나머지로 분류하면 나머지 0인 수 {3,6,9}, 나머지 1인 수 {1,4,7}, 나머지 2인 수 {2,5,8} — 각 3개씩이다.
세 수의 합이 3의 배수가 되는 경우는 ① 세 수 모두 같은 나머지 그룹에서 뽑을 때(그룹마다 \(\binom{3}{3}=1\)가지, 3개 그룹이므로 3가지), ② 세 그룹에서 하나씩 뽑을 때(\(3\times3\times3=27\)가지) — 합쳐서 \(3+27=30\)가지의 숫자 조합.
각 조합은 순서를 바꿔 \(3!=6\)개의 서로 다른 세 자리 수를 만든다(맨 앞자리가 0이 될 일이 없으므로 전부 유효).

4번 문제와 같은 원리(나머지 분류)를 쓰지만, 이번엔 그룹 크기가 서로 다르다는 점이 훨씬 까다롭다. 1~20을 3으로 나눈 나머지로 분류하면 나머지 0인 수 {3,6,...,18} 6개, 나머지 1인 수 {1,4,...,19} 7개, 나머지 2인 수 {2,5,...,20} 7개 — 6, 7, 7로 크기가 다르다. (4번처럼 "그룹마다 3개씩"인 깔끔한 대칭이 깨져서, 손쉬운 지름길 없이 각 경우를 다 계산해야 한다.)
① 세 수 모두 같은 그룹: \(\binom{6}{3}+\binom{7}{3}+\binom{7}{3}=20+35+35=90\)가지
② 세 그룹에서 하나씩: \(6\times7\times7=294\)가지
이번엔 "숫자로 세 자리 수 만들기"가 아니라 "세 수의 묶음 자체"를 구하는 문제라 순열(\(3!\)) 곱셈은 필요 없다.

P를 신경 쓰지 않은 전체 경로 수는 오른쪽 4번 + 위쪽 3번, 총 7번의 이동 중 오른쪽 4번을 고르는 것 — \(\binom{7}{4}=35\)가지.
P(오른쪽 2번, 위쪽 1번 지점)를 지나는 경로 수 = (A→P) × (P→B) = \(\binom{3}{1}\times\binom{4}{2}=3\times6=18\)가지.
P를 피해야 하므로 전체에서 P를 지나는 경로를 뺀다: \(35-18=17\).

\(a=ga',\ b=gb'\) (\(g=\gcd(a,b)\), \(a',b'\)은 서로소, \(a'\le b'\))로 놓으면 \(\mathrm{lcm}(a,b)=ga'b'\)이므로
\(a\star b = g + ga'b' = g(1+a'b') = 39\). 즉 \(g\)는 39의 약수(1, 3, 13, 39) 중 하나다.
각 \(g\)에 대해 \(a'b' = \dfrac{39}{g}-1\)이 되는, 서로소인 \(a'\le b'\) 쌍의 개수를 센다.
· \(g=1\): \(a'b'=38=2\times19\) → 서로소 쌍 (1,38), (2,19) — 2개
· \(g=3\): \(a'b'=12\) → 서로소 쌍 (1,12), (3,4) — 2개 (단, (2,6)은 서로소가 아니라 제외)
· \(g=13\): \(a'b'=2\) → 서로소 쌍 (1,2) — 1개
· \(g=39\): \(a'b'=0\) → 자연수 조건에 맞지 않아 없음
전부 더하면 \(2+2+1=5\)개. (실제 순서쌍: (1,38), (2,19), (3,36), (9,12), (13,26))

비둘기집 원리(pigeonhole)를 쓴다. 정삼각형의 세 변의 중점을 이어 그리면, 원래 삼각형은 한 변의 길이가 1인 정삼각형 4개로 나뉜다(그림의 점선).
점 5개를 이 4개의 작은 삼각형 중 하나에 반드시 배정해야 하므로(경계에 걸친 점은 인접한 작은 삼각형 중 하나에 속하는 것으로 본다), 비둘기집 원리에 의해 적어도 한 작은 삼각형에는 점이 2개 이상 들어간다.
한 변의 길이가 1인 정삼각형 내부(경계 포함)에서 어떤 두 점 사이의 거리도 그 삼각형의 가장 긴 변의 길이, 즉 1을 넘을 수 없다.
따라서 같은 작은 삼각형에 들어간 두 점 사이의 거리는 반드시 1 이하이다. (증명 끝)